En kommentar om tillväxtbokföring och Cobb-Douglasantagandet

Det råder tydligen viss förvirring kring huruvida tillväxtbokföring kräver ett antagande om Cobb-Douglasproduktionsfunktioner. Det gör det inte.

Konstant skalavkastning, inte Cobb-Douglas, för att beräkna teknologisk tillväxt

Låt produktionsfunktionen vid tidpunkt $t$ vara given av $Y_t=F(t, K_t, L_t)$. Det vill säga, produktionsfunktionen förändras över tid (teknologisk tillväxt), men vi tillåter oss att vara agnostiska hur den ändras över tid.

Genom att ta tidsderivatan kan den procentuella tillväxten av BNP vid tidpunkt $t$ då dekomponeras i tre komponenter:

• Den första komponenten är tillväxt som beror på förändring i produktionsfunktionen, det vill säga teknologisk tillväxt.
• Den andra komponenten är tillväxt som beror på kapitalackumulering.
• Den tredje komponenten är tillväxt som beror på befolkningsökning (eller, bredare, ökning i arbetade timmar).

Tillväxtbokföring (“growth accounting”) handlar om att beräkna bidragen till tillväxt från de tre komponenterna. Receptet bygger på ett utnyttjande av konstant skalavkastning. Om vi antar att produktionsfunktionen $F_t$ har konstant skalavkastning (homogen av första ordningen, $F_t(\lambda K, \lambda L)=\lambda F(K,L)$ för $\lambda>0$) så håller identiteten $F_t(K,L)= \frac{\partial F_t}{\partial K} K + \frac{\partial F_t}{\partial L}L$.

Om vi vidare introducerar notationen $\alpha_t = \frac{\partial F_t}{\partial K} K /F_t(K,L)$ för elasticiteten av BNP till kapitalstocken och definierar totalfaktorproduktivitet $A_t$ implicit genom $\frac{\dot{A}}{A}= \frac{\frac{\partial F(t,K_t,L_t)}{\partial t}}{Y_t}$ så kan vår dekomponering av tillväxt skrivas om som

För att nå fram till den här ekvationen behövde vi inte anta någon Cobb-Douglasproduktion, utan endast konstant skalavkastning. SSB/SCB rapporterar $Y$, $K$ och $L$, så för att beräkna teknologisk tillväxt $\frac{\dot{A}_t}{A_t}$ måste vi på något sätt uppskatta produktionselasticiteten $\alpha_t$. Det vanliga sättet att göra det är att anta att insatsfaktorer kompenseras efter sin marginalproduktivitet, så $r_t=\frac{\partial F_t}{\partial K}$ och $\alpha_t=\frac{r_tK_t}{Y_t}$ är därmed kapitalandelen av BNP. Denna kan, med vissa svårigheter, mätas i data.

Givet en tidsserie för kapitalandelen av BNP, $\alpha_t$, och tidsserier för BNP-tillväxt $\frac{\dot{Y}_t}{Y_t}$, kapitalackumulering $\frac{\dot{K}_t}{K_t}$ och ökningen i arbetade timmar $\frac{\dot{L}_t}{L_t}$ får vi en tidsserie för produktivitetstillväxten som kan attribueras till teknologisk tillväxt, $\frac{\dot{A}_t}{A_t}$.

Cobb-Douglas, på fel sätt

Som Martin Blomhoff Holm har påpekat så gör Martin Bech Holte något som vid handen kan verka väldigt snarlikt. Han beräknar produktivitet genom att anta en Cobb-Douglas-produktionsfunktion $Y_t = A^{MBH}_t K_t^{\alpha_t}L_t^{1-\alpha_t}$ och, precis som ovan, använda tidsserier för $Y_t, K_t, L_t$ och $\alpha_t$ för att backa ut utvecklingen av produktivitet $A_t$.

Vad är skillnaden? Om vi tar tidsderivatan av $Y_t = A^{MBH}_t K_t^{\alpha_t}L_t^{1-\alpha_t}$ så får vi

Det vill säga, Martin Bech Holtes $\frac{\dot{A}^{MBH}_t}{A^{MBH}_t}$ är inte ökningen i produktion som kan härledas till en förändrad produktionsfunktion (vilket är $\frac{\dot{A}_t}{A_t}=\frac{\dot{A}^{MBH}_t}{A^{MBH}_t} + \frac{K_t}{L_t}\dot{\alpha}_t$) utan endast en delkomponent. När kapitalandelen rör sig så kan detta ha ganska stora effekter. Vidare så har $K/L$ inte någon naturlig enhet som den kan mätas i (kronor per arbetade timmar, eller kronor per arbetade veckor, etc.) så med Martin Bech Holtes metod kan man få vilket resultat som helst. Det vill säga, metoden är helt enkelt fel.